# Cada execução desse código resultará em uma sequência diferente de 5 números.
rnorm(5)[1] -0.2432937 0.5469740 -1.7061587 -0.1341251 -1.442134414 Distribuições de Probabilidade
Distribuições teóricas são modelos matemáticos que descrevem como os dados se comportam. Elas são importantes porque permitem a modelagem e previsão de fenômenos naturais, fazendo inferências sobre uma população a partir de uma amostra e testando hipóteses para determinar a significância dos resultados observados.
Na medicina, esses conceitos são aplicados de várias maneiras. Ensaios clínicos utilizam distribuições teóricas para determinar a significância dos resultados dos testes de tratamento, por exemplo, modelando a distribuição dos resultados com a distribuição normal. Estudos epidemiológicos usam distribuições para modelar a incidência e prevalência de doenças, como a distribuição de Poisson para modelar o número de novos casos em um determinado período. A análise de sobrevivência utiliza a distribuição exponencial para modelar o tempo de sobrevivência dos pacientes após um tratamento ou o tempo até a ocorrência de um evento específico, como a recaída de uma doença. Distribuições teóricas de probabilidade são, portanto, elementos fundamentais da análise estatística.
O R, sendo uma linguagem estatística, naturalmente possui diversos comandos para criar conjuntos de números aleatórios com distribuições de diversos tipos. Para cada distribuição o R possui 4 funções principais: densidade de probabilidade (d), probabilidade cumulativa (p), quantiles (q) e números randomizados (r). Cada uma dessas funções é obtida colocando-se a letra correspondente (d, p, q, r) como prefixo do nome da distribuição no R. A tabela abaixo mostra algumas das distribuições e as funções associadas.
14.1 Definindo o ponto de partida para a geração de números aleatórios
A função set.seed() do R é utilizada para definir a semente (ou seed, em inglês) de geração de números aleatórios, ou seja, o ponto de partida para a geração de números aleatórios. Isso é particularmente útil quando você precisa garantir que seus resultados sejam reprodutíveis. Ao definir uma semente específica, qualquer operação subsequente que envolva a geração de números aleatórios produzirá os mesmos resultados em diferentes execuções, desde que a mesma semente seja usada.
Sem definir uma semente, os resultados da simulação mudarão a cada execução. No entanto, ao usar set.seed(), você pode garantir que os resultados sejam consistentes.
# Cada execução desse código resultará sempre em na mesma sequencia de 5 números.
# Alterar o argumento da função set.seed irá mudar a sequencia de números.
set.seed(1)
rnorm(5)[1] -0.6264538 0.1836433 -0.8356286 1.5952808 0.3295078A semente deve ser sempre um número inteiro. Diferentes números de sementes levarão a diferentes sequências de números aleatórios. Observe que set.seed() não altera os números gerados globalmente para toda a sessão R, mas garante que a sequência de números aleatórios gerados após definir a semente seja a mesma.
14.2 Distribuição Uniforme
14.2.1 runif
A função runif() gera um conjunto randomizado de números a partir de um distribuição uniforme. Os argumentos dessa função são: a quantidade de números, o valor mínimo e o valor máximo.
Veja abaixo como criar um conjunto randomizado de 20 números distribuídos de forma uniforme entre 0 e 1.
ru1 <- runif(n = 20, min = 0, max = 1)
ru1 [1] 0.20597457 0.17655675 0.68702285 0.38410372 0.76984142 0.49769924
[7] 0.71761851 0.99190609 0.38003518 0.77744522 0.93470523 0.21214252
[13] 0.65167377 0.12555510 0.26722067 0.38611409 0.01339033 0.38238796
[19] 0.86969085 0.34034900podemos arrendondar esses valores com a função round().
# arredondando para 2 casas decimais
round(ru1, 2) [1] 0.21 0.18 0.69 0.38 0.77 0.50 0.72 0.99 0.38 0.78 0.93 0.21 0.65 0.13 0.27
[16] 0.39 0.01 0.38 0.87 0.34Podemos visualizar um histograma dessa distribuição com a função hist(). Veja que com poucos elementos a distribuição ainda não parece uniforme.
hist(ru1)
Entretanto, a medida que aumentando o número de elementos, a forma da distribuição se parece cada vez mais com uma distribuição uniforme. Veja no código abaixo um conjunto randomizado de 10, 100, 1000 e 10.000 elementos criados com a função runif() e os histogramas dessas distribuições.
ru1 <- runif(n = 10, min = 0, max = 1)
ru2 <- runif(n = 100, min = 0, max = 1)
ru3 <- runif(n = 1000, min = 0, max = 1)
ru4 <- runif(n = 10000, min = 0, max = 1)
par(mfrow = c(2, 2)) # cria uma matrix 2x2 para plotar os gráficos
hist(ru1)
hist(ru2)
hist(ru3)
hist(ru4)
14.2.2 dunif
A função dunif() calcula a função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição uniforme, ou seja, a probabilidade de que uma variável aleatória seja igual a um determinado valor. A função dunif() tem três argumentos:
- x: o valor no qual calcular o PDF
- min: o limite inferior da distribuição
- max: o limite superior da distribuição
Veja como usar a função dunif() para calcular o PDF de uma distribuição uniforme entre 0 e 100 no valor 2:
dunif(x=5, min=0, max=100)[1] 0.01Isso significa que a probabilidade de uma variável aleatória dessa distribuição ser igual a 5 é 0.01.
14.2.3 punif
A função punif() calcula a função de densidade de probabilidade cumulativa (CDF) da distribuição uniforme, ou seja, a probabilidade de que uma variável aleatória seja menor ou igual a um determinado valor.
A função punif() requer três argumentos:
- x: o valor no qual calcular o CDF
- min: o limite inferior da distribuição
- max: o limite superior da distribuição
Veja um exemplo de como usar a função punif() para calcular o CDF de uma distribuição uniforme entre 0 e 100 no valor 5:
punif(5, min = 0, max = 100)[1] 0.0514.2.4 qunif
A função quinf() calcula a função quantil da distribuição uniforme. A função quantil é o inverso do CDF. Dada um probabilidade como entrada, a função retorna o valor que tem essa probabilidade.
A função quinf() requer três argumentos:
- p: a probabilidade
- min: o limite inferior da distribuição
- max: o limite superior da distribuição
Veja exemplo de como usar a função quinf() para calcular o quantil de uma distribuição uniforme entre 0 e 100 na probabilidade de 0.05:
qunif(0.05, min = 0, max = 100)[1] 514.3 Distribuição Normal
A mais importante das distribuições de probabilidade teóricas é a distribuição normal. Diversos fenômenos na natureza seguem um padrão de distribuição simétrico e em forma de sino. Devido a essa forma, essa distribuição de frequências ficou conhecida como distribuição em sino (bell shaped). Como tantos fenômenos são distribuídos dessa forma, a busca por um modelo matemático para modelar essa distribuição tem uma longa e interessante trajetória na ciência, envolvendo diversos grandes matemáticos. O modelo matemático dessa curva se começou a ser construído por volta do ano de 1733 com o trabalho do matemático Abraham Demoivre, quando buscava modelos para prever resultados de jogos de azar e em 1786 por Pierre Laplace, um astrônomo e matemático. No entanto, a curva normal como modelo para a distribuição de erros na teoria científica é mais comumente associada a um astrônomo e matemático alemão, Karl Friedrich Gauss, que encontrou uma nova derivação da fórmula para a curva em 1809 (Gordon 2006). Por esse motivo, a curva normal às vezes é referida como a curva “Gaussiana”. Em 1835, outro matemático e astrônomo, Lambert Quetelet, usou o modelo para descrever características fisiológicas e sociais humanas. Quetelet acreditava que “normal” significava média e que os desvios da média eram os erros da natureza. Apesar da visão distorcida de Quetelet, ele foi o primeiro matemático a estender o uso da curva de distribuição normal para os campos das ciências sociais e biomédicas (Stahl 2006).
14.3.1 rnorm
A função rnorm() gera um conjunto de números randomizados a partir de um distribuição normal. Os argumentos dessa função são: a quantidade de números, a média e o desvio padrão. Se introduzirmos apenas a quantidade de números, a função rnorm() utiliza a distribuição normal padrão, com média = 0 e desvio padrão = 1.
Gerando um conjunto randomizado de 1000 números distribuídos de forma normal com média = 0 e desvio padrão = 1.
set.seed(100)
rn1 <- rnorm(n = 1000, mean = 0, sd = 1)
plot(density(rn1)) 
Poderíamos também escrever a função acima com os argumentos pela ordem:
set.seed(100)
rn1 <- rnorm(1000, 0, 1)
plot(density(rn1)) 
# Inserindo apenas o número de valores a serem gerados
# Nesse caso a função rnorm usa os valores default para media e desvio padrão
# media = 0 e desvio padrão = 1 (curva normal padrão)
set.seed(100)
rn1 <- rnorm(1000)
plot(density(rn1)) 
14.3.2 dnorm
A função dnorm() é a função de densidade de probabilidade (PDF) de uma distribuição normal e retorna o valor da densidade de probabilidade de um valor x, ou seja, a altura da curva normal naquele ponto. Tem como argumentos o valor x e a média e o desvio padrão da curva. O primeiro argumento é o ponto no eixo x do qual se pretende saber o valor da densidade de probabilidade, o segundo argumento é a média e o terceiro argumento é o desvio padrão.
Por exemplo, para saber o valor da densidade de probabilidade de x=2, numa curva normal padrão (média =0 e desvio padrão =1), o código seria:
dnorm(2, mean = 0, sd = 1)[1] 0.05399097Numa curva normal padrão não precisamos informar os valores da média e do desvio padrão, bastando inserir o ponto do eixo x.
dnorm(2)[1] 0.05399097
A função dnorm(x) pode ser usada também para gerar todos os pontos da curva normal. Isso pode ser útil para desenhar gráficos da curva normal com códigos bem curtos, quando a associamos à função curve(), como mostrado nos códigos abaixo.
curve(dnorm(x), -3, 3)
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 2), 4, 16)
curve(dnorm(x, mean= 100, sd= 10), 50, 150)
Podemos inserir várias curvas num mesmo gráfico com o argumento add=TRUE.
curve(dnorm(x, sd=1), col="black", xlim=c(-10,10), ylim=c(0,0.4), ylab="Densidade")
curve(dnorm(x, sd=2), col="brown", xlim=c(-10,10), ylim=c(0,0.4), ylab="Densidade", add=TRUE)
curve(dnorm(x, sd=3), col="blue", xlim=c(-10,10), ylim=c(0,0.4), ylab="Densidade", add=TRUE)
curve(dnorm(x, sd=4), col="red", xlim=c(-10,10), ylim=c(0,0.4), ylab="Densidade", add=TRUE)
curve(dnorm(x, sd=5), col="green", xlim=c(-10,10), ylim=c(0,0.4), ylab="Densidade", add=TRUE)
legend(x = 2.4, y = 0.41, lty=1,
legend = c("σ = 1", "σ = 2", "σ = 3", "σ = 4", "σ = 5"),
col = c("black", "brown", "blue", "red", "green"))
14.3.3 pnorm
A função pnorm(x) é utilizada para calcular a função de distribuição acumulada (CDF) de uma distribuição normal. Em outras palavras, ela fornece a probabilidade de que uma variável aleatória com distribuição normal padrão seja menor ou igual a um determinado valor x. Do ponto de vista gráfico, essa função calcula área abaixo da curva normal, à esquerda de x, ou seja, a probabilidade de dados menores que x. O gráfico abaixo mostra a interpretação visual da função pnorm(x).
# calculando pnorm de x=2 na curva normal padrão
pnorm(2)[1] 0.9772499
Observe que a função pnorm(x) usou os valores padrões de media = 0 e desvio padrão = 1. Caso seja necessário usar outros valores, basta inserir esses argumentos na função pnorm().
Vamos usar um estudo da ANAC (Agência Nacional de Aviação Civil) (Silva e Monteiro 2009) como exemplo. Nesse estudo foi a média da altura dos homens brasileiros usuários do sistema de aviação foi estimada em 173,1 cm com um desvio padrão de 7,3cm. Usando esses dados como exemplo, podemos calcular qual o percentual de homens dessa amostra com altura inferior a 190cm.
pnorm(190, mean=173.1, sd=7.3)[1] 0.9896954A função pnorm(x) calcula a área abaixo da curva À ESQUERDA do ponto x. Como a área total abaixo de uma curva normal é 1, Para saber a área à direita basta subtrair o resultado de 1, como feito abaixo:
1 - pnorm(190, mean=173.1, sd=7.3)[1] 0.01030459Ou seja, aproximadamente 1% dos homens brasileiros dessa amostra tem altura superior a 190cm.
14.3.4 qnorm
A função qnorm() faz o calculo inverso da função pnorm(). é utilizada para calcular o quantil (ou percentil) de uma distribuição normal. Isso significa que ela fornece o valor x tal que a área sob a curva normal à esquerda de x é igual a uma probabilidade especificada p. O argumento da função qnorm(p) é extamente essa probabilidade, o percentual abaixo da curva à esquerda do ponto x. O resultado dessa função é o valor no eixo x que delimita essa área.
Com essa função podemos nos perguntar qual deve ser a altura das portas de um avião para que 99% dos brasileiros usuários dos aeroportos possam passar pela porta de um avião sem ter de se abaixar? Ou seja, qual a medida da estatura abaixo do qual estão 99% dos brasileiros dessa amostra? Lembrando que a média da altura dos homens brasileiros usuários do sistema de aviação foi estimada em 173,1 cm com um desvio padrão de 7,3cm, o código fica assim:
qnorm(0.99, mean=173.1, sd=7.3)[1] 190.0823Essa análise pode ser visualizada no gráfico abaixo:
14.4 Distribuiçao t de Student
A distribuição t de Student (também conhecida como distribuição t) foi introduzida por William Sealy Gosset em 1908, sento usada para estimar a média de variáveis aleatórias normalmente distribuídas para as quais o tamanho da amostra é pequeno e o desvio padrão é desconhecido. A distribuição t parece muito semelhante à distribuição normal, e converge para a curva normal à medida que o tamanho da amostra aumenta.
14.4.1 rt()
A função rt() cria conjunto randomizado de números a partir de um distribuição t de Student. Os argumentos dessa função são: a quantidade de números e os graus de liberdade (degrees of freedom - df).
set.seed(1)
x <- rt(n = 1000, df = 10)
plot(density(x))
14.4.2 dt()
As funções dt(), pt(), qt() funcionam da mesma forma que suas correspondentes na distribuição normal, como já discutido anteriormente, com a diferença de que o parâmetro da distribuição t são os graus de liberdade (degrees of freedom - df) e não a média e o desvio padrão.
A função dt() é a função de densidade de probabilidade (PDF) na curva de distribuição t. Tem como argumento o ponto no eixo x e os graus de liberdade e seu resultado é o valor da densidade de probabilidade, ou a altura da curva t nesse ponto.
Por exemplo, para saber o valor da densidade de probabilidade de x=2, numa curva de distribuição t com 5 graus de liberdade (df = 5), o código seria:
dt(x=2, df=5)[1] 0.06509031
A função dt() pode ser usada também para gerar todos os pontos da curva, o que pode ser útil para desenhar gráficos da curva normal com códigos bem curtos, quando a associamos à função curve(), como mostrado nos códigos abaixo.
curve(dt(x, df = 5),
xlim = c(-4,4) )
Podemos inserir várias curvas num mesmo gráfico, usando o argumento add=TRUE.
curve(dnorm(x), col="black", xlim=c(-5,5), ylim=c(0,0.4), ylab="Densidade")
curve(dt(x,df=20),col="brown", add=TRUE)
curve(dt(x,df=5), col="blue", add=TRUE)
curve(dt(x,df=2), col="red", add=TRUE)
curve(dt(x,df=1), col="green", add=TRUE)
legend(x = 2.4, y = 0.41, lty=1,
legend = c("normal curve","t, df=20","t, df=5","t, df=2","t, df=1"),
col = c( "black", "brown", "blue", "red", "green"))
14.4.3 pt()
A função pt(q) é utilizada para calcular a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição t de Student. Ela fornece a probabilidade de que uma variável aleatória com uma distribuição t de Student seja menor ou igual a um determinado valor x. Ou seja, calcula área abaixo da curva de distribuição t, à esquerda de q (quantile).
Os argumentos dessa função são o quantile (q) e os graus de liberdade da curva t (df). O código e o gráfico abaixo mostram o resultado da função pt() e a a interpretação visual da função.
pt(q = 2, df = 5)[1] 0.9490303
14.4.4 qt()
A função qt(), faz o inverso da função pt(): dada uma área abaixo da curva de distribuição t, a função retorna o quantile (q) que delimita essa área à esquerda. Os argumentos dessa função são a área em decimais (p) e os graus de liberdade da curva t (df). O resultado da função é o quantile.
qt(p = 0.9490303, df = 5)[1] 2.00000114.5 Distribuição Chi-quadrado
A distribuição qui-quadrado é frequentemente usada em testes estatísticos, como o teste de independência em tabelas de contingência ou o teste de ajuste (goodness-of-fit).
14.5.1 rchisq()
A função rchisq() cria conjunto randomizado de números a partir de um distribuição Chi quadrado. Os argumentos dessa função são: a quantidade de números e os graus de liberdade (degrees of freedom - df).
set.seed(1)
y <- rchisq(n = 1000, df = 3)
plot(density(y))
14.5.2 dchisq()
A função dchisq() é utilizada para calcular a função densidade de probabilidade (PDF) de uma distribuição qui-quadrado (\(\chi^2\)). Ela retorna a densidade da função qui-quadrado para um dado valor x, ou seja, a altura da curva de densidade qui-quadrado naquele ponto específico.
Podemos usar a função dchisq() para construir gráficos da distribuição chi-quadrado, da mesma forma como fizemos com a curva normal.
curve(dchisq(x, df=3),
col="black",
xlim=c(0,30),
ylim=c(0,0.6),
ylab="Chi Square Density")
E também podemos usar a o argumento add=TRUE para inserir várias curvas no mesmo gráfico.
curve(dchisq(x, df=1 ),col="black", xlim=c(0,30), ylim=c(0,0.6), ylab="Chi Square Density")
curve(dchisq(x, df=2 ),col="red", add=TRUE)
curve(dchisq(x, df=3 ),col="blue", add=TRUE)
curve(dchisq(x, df=5 ),col="dark green", add=TRUE)
curve(dchisq(x, df=10),col="brown", add=TRUE)
legend(x = 25, y = 0.55,
legend = c("df=1","df=2","df=3","df=5","df=10"),
col = c("black","red","blue","dark green","brown"),
lty=1)
As funções pchisq(), qchisq() funcionam da mesma forma que suas correspondentes na distribuição normal e t de Student, como já discutido anteriormente, lembrando que o parâmetro da distribuição chi-quadrado são os graus de liberdade (degrees of freedom - df).
14.5.3 pchisq()
A função pchisq em R é usada para calcular a distribuição acumulada (CDF) da distribuição qui-quadrado (\(\chi^2\)). Os principais argumentos da função pchisq() são:
qé o valor da estatística qui-quadrado para o qual você deseja calcular a probabilidade acumulada.dfé o número de graus de liberdade da distribuição.
Por padrão a funçõa retorna probabilidade acumulada do valor da estatística ser menor ou igual a q. Caso deseje a probabilidade de ser maior ou igual a q é necessário acrescentar o argumento lower.tail=FALSE
Suponha que você tenha uma estatística qui-quadrado de 5.991 e 2 graus de liberdade e queira calcular a probabilidade acumulada P(x ≤ 5.991)
pchisq(q = 6, df = 2)[1] 0.9502129O gráfico abaixo visualiza o uso da função pchisq(q = 5.991, df = 2)
14.5.4 qchisq()
A função qchisq() é o oposto da pchisq(). É usada para calcular o quantil da distribuição qui-quadrado. Em outras palavras, ela encontra o valor q tal que a probabilidade acumulada até q seja igual a um dado valor de probabilidade p. Isso é útil em testes de hipóteses e intervalos de confiança onde se deseja encontrar os pontos críticos da distribuição qui-quadrado.
qchisq(p =0.9502129, df = 2)[1] 5.99999914.6 Distribuição de Poisson
As funções para distribuição de Poisson seguem o mesmo padrão das anteriores:
rpois()cria conjunto randomizado de números numa distribuição de Poisson.dpois()calcula a função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição Poisson. O primeiro argumento é o ponto no eixo x do qual se pretende saber o valor da densidade de probabilidade, o segundo argumento é o parâmetro lambda.ppois()calcula a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição de Poisson, ou seja, calcula a probabilidade de que uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson seja menor ou igual a um determinado valor x.qpois()calcula o quantil de uma distribuição de Poisson, ou seja, retorna o valor x tal que a probabilidade acumulada P(X≤x)seja igual a uma probabilidade especificada p.
14.7 Resumo
O R possui essas funções de densidade, densidade cumulativa, quantil e numeros randomizados para diversas funções. O quadro abaixo resume esse capítulo.
| Distribuição | PDF (d) |
CDF (p) |
Quantil (q) |
Aleatório (r) |
|---|---|---|---|---|
| Normal | dnorm |
pnorm |
qnorm |
rnorm |
| Binomial | dbinom |
pbinom |
qbinom |
rbinom |
| Poisson | dpois |
ppois |
qpois |
rpois |
| Qui-quadrado | dchisq |
pchisq |
qchisq |
rchisq |
| t de Student | dt |
pt |
qt |
rt |
| F | df |
pf |
qf |
rf |
| Exponencial | dexp |
pexp |
qexp |
rexp |
| Gamma | dgamma |
pgamma |
qgamma |
rgamma |
| Beta | dbeta |
pbeta |
qbeta |
rbeta |
| Geométrica | dgeom |
pgeom |
qgeom |
rgeom |
| Hipergeométrica | dhyper |
phyper |
qhyper |
rhyper |
| Binomial Negativa | dnbinom |
pnbinom |
qnbinom |
rnbinom |
| Uniforme | dunif |
punif |
qunif |
runif |
| Weibull | dweibull |
pweibull |
qweibull |
rweibull |
| Log-normal | dlnorm |
plnorm |
qlnorm |
rlnorm |
| Multinomial | dmultinom |
- | - | rmultinom |
| Cauchy | dcauchy |
pcauchy |
qcauchy |
rcauchy |
| Beta-Binomial | dbetabinom (MASS) |
pbetabinom (MASS) |
qbetabinom (MASS) |
rbetabinom (MASS) |
| Normal Inversa | dinvgauss (statmod) |
pinvgauss (statmod) |
qinvgauss (statmod) |
rinvgauss (statmod) |
| Pareto | dpareto (VGAM) |
ppareto (VGAM) |
qpareto (VGAM) |
rpareto (VGAM) |